В работе рассматриваются математические модели распространения тепла в кабельных сетях, обеспечивающих заданный температурный режим транспортировки продукта в трубопроводах. Вычисляются температурные напряжения и деформации, вызванные тепловым потоком, в системе
«кабель-трубопровод». Проводятся численные расчеты с использованием конечно-элементного комплекса «Solid Works».
The paper considers mathematical models of heat propagation in cable networks that provide a given temperature regime of product transportation in pipelines. Temperature stresses and deformations caused by heat flow are calculated in the «cable-pipeline» system. Numerical calculations are carried out using the finite element complex «Solid Works».
Практика показывает, что транспортировка нефтепродуктов по трубопроводу требует стабильной температуры вне зависимости от условий окружающей среды. Это связано с зависимостью свойств перекачиваемого продукта, в частности, его вязкости от температуры. Понижение температуры не только снижает свойства нефтепродуктов с точки зрения возможности их прокачки, но и может привести к не-желательным фазовым превращениям.
По этой причине в работе даётся анализ математических моделей теплопередачи и расчёт напряжений, вызванных температурным полем.
Математические модели регулирования теплового режима трубопроводов для транспортировки нефтепродуктов
Основная техническая идея для обеспечения постоянного значения температуры в трубе при изменении внешних условий заключается в обратной зависимости сопротивления кабельных систем от температуры окружающей среды. Чем ниже температура снаружи трубы, тем выше тепловая энергия, выделяемая в кабельном слое. Эксперименты показывают, что сопротивление проводников уменьшается с падением температуры по закону 1/ R и выделение тепла усиливается. Заметим, что на определённом участке трубопровода с кабельной терморегулирующей системой разность потенциалов
(u) поддерживается постоянной, и интенсивность выделяемой энергии в единице объема зависит только от среднего значения сопротивления (R) .
Рассмотрим более подробно математические модели указанных выше процессов. На рис. 1 показан цилиндр (кабель), который окружает трубопроводную систему.
Рис. 1. Расчётная схема трубопровода, Ta , Tb – температура на внутренней и внешней поверхности трубопровода
Для рассматриваемой модели нестационарное температурное поле определяется из решения уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах
æ 2
= a ç
1 ¶T ö
+ . (1)
¶t ç ¶r 2 r ¶r ÷
Здесь T = T (r,t) – распределение температуры в зависимости от радиуса и времени; a – коэффициент теплопроводности.
Решение уравнения (1) при заданных начальных и граничных условиях может быть получено с
использованием функций Бесселя.
Анализ напряжений
Если найдено температурное поле T (r,t) , то соответствующие им напряжения и деформации в
упругой зоне вычисляются по формулам (случай плоского напряженного состояния)
srr
= 2G
1- n
[err
+ nejj
- (1+ n)aT ],
2G [
( ) ]
(2)
sjj = 1- n ejj + nerr - 1+ n aT .
Здесь n , G – коэффициент Пуассона и модуль сдвига, соответственно, ejj , e rr – кольцевое и радиальное значение деформаций.
В случае стационарного процесса уравнение (1) имеет точное решение (при Tb = 0 )
T (r) =
T ln b
r , (3)
а температурное напряжение s jj
ln a
при r = a, r = b имеет вид
- aET æ 2b2 b ö
s jj
r =a
= a ç1 -
b2 - a 2
ln a ÷,
2(1 -n ) ln è
- aET æ
ø
2a 2 b ö
(4)
s jj
r =b
= a ç1 -
b2 - a 2
ln a ÷.
2(1 -n ) ln è ø
Из формул (4) следует, что при Ta > 0 напряжение при r = a – сжимающее, а при r = b – растягивающее.
s jj
Заметим, что периодические изменения температуры будут менять знак кольцевых напряжений в кабельном слое, что может привести к адгезионным отслоениям и разрушению терморегулирующего слоя.
В случае бесконечно длинного цилиндра имеет место плоская деформация (e zz = 0) и в этом случае напряжения определяются по формулам
s = 2G é(1-n )¶u +n u ù - EaT ,
rr 1- 2n êë
¶r r úû
1- 2n
(5)
s = 2G é(1-n )u +n ¶u ù - EaT .
jj 1- 2n êë
r ¶r úû
1- 2n
Для нахождения перемещения u = u(r) необходимо решить дифференциальное уравнение вида
¶2u
¶r 2
+ 1 ¶u - u r ¶r r 2
= 1+n a ¶T 1-n ¶r
. (6)
Граничное условие при отсутствии напряжений при r = b можно записать в форме s rr = 0 . На
внутреннем радиусе (r = a) s rr = p0 , где p0 – напряжение контакта на границе раздела двух сред.
При периодическом изменении температуры окружающей среды по закону
T = T0 coswt
(7)
в предположении затухания переходного процесса решение уравнения теплопроводности тоже будет периодическим и, как следствие, напряжения и перемещения, определяемые по формулам (5), (6) будут иметь изменения по времени с периодом T = 2p / w .
Учёт теплообмена с окружающей средой
Если существенен фактор теплообмена с окружающей средой по внешней поверхности кабеля, то при решении уравнения теплопроводности при r = b надо задать граничное условие вида
¶T = h(T - T ), r = b . (8)
¶r b
Здесь h – коэффициент теплопередачи, Tb – температура окружающей среды в момент времени t .
На внутренней поверхности (r = a) можно задать условие, аналогичное (8), учитывающее теплопередачу на границе «трубопровод-кабель».
Численный анализ
Построенные выше математические модели для описания тепловых процессов и вызываемых ими температурных напряжений являются достаточно простыми и могут быть решены в некоторых случаях аналитически [1, 2]. Однако практически значимые расчёты требуют применения численных методов, в первую очередь, метода конечных элементов. Наиболее подходящими инструментариями для такого анализа являются комплексы программ на основе МКЭ: Solid Works, Ansys, Лира и др.
Ниже приводится пример использования программного комплекса Solid Works для разбиения области на конечные элементы и оценки НДС (рис. 2):
Рис. 2. Пример расчета трехслойной кабельной системы методом конечных элементов Перечисленные выше модели базируются на линейном законе Гука. При появлении пластических
зон, связанных с действием температуры, нужно применять итерационные методы последовательных приближений с исследованием условий их сходимости [
Предполагаются математические модели для анализа тепловых процессов и вызываемых ими температурных напряжений в саморегулирующихся кабельных сетях, поддерживающих заданный тепловой режим в трубопроводах. В частности, даны рекомендации, как корректно сформулировать задачу теплопроводности в различных ситуациях, в том числе с учетом обменных тепловых процессов. Предложены две модели по определению напряженно-деформируемого состояния (плоское напряженное и деформированное состояния). Предлагается также модель, учитывающая периодические изменения температуры окружающей среды. Дан обзор численных методов решения на базе метода конечных элементов и пример использования комплекса «Solid Works» для разбиения на конечные элементы трехслойных кабельных систем с оценкой возникающих напряжений.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.