О МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ РЕЖИМОВ В ТРУБОПРОВОДАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГРЕЮЩИХСЯ КАБЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ

Введение

Практика показывает, что транспортировка нефтепродуктов по трубопроводу требует стабильной температуры вне зависимости от условий окружающей среды. Это связано с зависимостью свойств перекачиваемого продукта, в частности, его вязкости от температуры. Понижение температуры не только снижает свойства нефтепродуктов с точки зрения возможности их прокачки, но и может привести к не-желательным фазовым превращениям.

По этой причине в работе даётся анализ математических моделей теплопередачи и расчёт напряжений, вызванных температурным полем.

Математические модели регулирования теплового режима трубопроводов для транспортировки нефтепродуктов

Основная техническая идея для обеспечения постоянного значения температуры в трубе при изменении внешних условий заключается в обратной зависимости сопротивления кабельных систем от температуры окружающей среды. Чем ниже температура снаружи трубы, тем выше тепловая энергия, выделяемая в кабельном слое.  Эксперименты показывают, что сопротивление проводников уменьшается с падением температуры по закону 1/ R и выделение тепла усиливается. Заметим, что на определённом участке трубопровода с кабельной терморегулирующей системой разность потенциалов

(u) поддерживается постоянной, и интенсивность выделяемой энергии в единице объема зависит только от среднего значения сопротивления (R) .

Рассмотрим более подробно математические модели указанных выше процессов. На рис. 1 показан цилиндр (кабель), который окружает трубопроводную систему.

Рис. 1. Расчётная схема трубопровода, Ta , Tb – температура на внутренней и внешней поверхности трубопровода

Для рассматриваемой модели нестационарное температурное поле определяется из решения уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах

æ  2

= a ç

1 ¶T ö

+   .                                                            (1)

¶t        ç ¶r ²     r ¶r ÷

Здесь T = T (r,t) – распределение температуры в зависимости от радиуса и времени; a – коэффициент теплопроводности.

Решение уравнения (1) при заданных начальных и граничных условиях может быть получено с

использованием функций Бесселя.

Анализ напряжений

Если найдено температурное поле T (r,t) , то соответствующие им напряжения и деформации в

упругой зоне вычисляются по формулам (случай плоского напряженного состояния)

srr

= 2G

1- n

[err

+ nejj

- (1+ n)aT ],

 2G  [

(      )    ]

(2)

sjj = 1- n ejj + nerr - 1+ n aT .

Здесь n , G – коэффициент Пуассона и модуль сдвига, соответственно, e_jj , e rr – кольцевое и радиальное значение деформаций.

В случае стационарного процесса уравнение (1) имеет точное решение (при Tb = 0 )

T (r) =

T ln b

r ,                                                                    (3)

а температурное напряжение s _jj

ln a

r

при r = a, r = b имеет вид

- aET      æ         2b²        b ö

s jj

r =a

=               ^a     ç1 -

b

b² - a ²

ln a ÷,

2(1 -n ) ln  è

a

- aET      æ

ø

2a ²        b ö

(4)

s jj

r =b

=               ^a    ç1 -

b

b² - a ²

ln a ÷.

2(1 -n ) ln  è                          ø

a

Из формул (4) следует, что при Ta > 0 напряжение при r = a – сжимающее, а при r = b – растягивающее.

s jj

Заметим, что периодические изменения температуры будут менять знак кольцевых напряжений в кабельном слое, что может привести к адгезионным отслоениям и разрушению терморегулирующего слоя.

Сравнительный скейлинговый анализ усиления полиуретана …

В случае бесконечно длинного цилиндра имеет место плоская деформация (e _zz = 0) и в этом случае напряжения определяются по формулам

s    =  2G é(1-n )¶u +n u ù - EaT ,

^rr    1- 2n êë

¶r       r úû

1- 2n

(5)

s     = 2G é(1-n )u +n ¶u ù - EaT .

^jj    1- 2n êë

r        ¶r úû

1- 2n

Для нахождения перемещения u = u(r) необходимо решить дифференциальное уравнение вида

¶²u

¶r ²

+ 1 ¶u - u r ¶r           r ²

= 1+n a ¶T 1-n         ¶r

.                                                 (6)

Граничное условие при отсутствии напряжений при r = b можно записать в форме s _rr = 0 . На

внутреннем радиусе (r = a) s _rr = p0 , где p0 – напряжение контакта на границе раздела двух сред.

При периодическом изменении температуры окружающей среды по закону

T = T₀ coswt

(7)

в предположении затухания переходного процесса решение уравнения теплопроводности тоже будет периодическим и, как следствие, напряжения и перемещения, определяемые по формулам (5), (6) будут иметь изменения по времени с периодом T = 2p / w .

Учёт теплообмена с окружающей средой

Если существенен фактор теплообмена с окружающей средой по внешней поверхности кабеля, то при решении уравнения теплопроводности при r = b надо задать граничное условие вида

¶T = h(T - T ),     r = b .                                                          (8)

¶r                ^b

Здесь h – коэффициент теплопередачи, Tb – температура окружающей среды в момент времени t .

На внутренней поверхности (r = a) можно задать условие, аналогичное (8), учитывающее теплопередачу на границе «трубопровод-кабель».

Численный анализ

Построенные выше математические модели для описания тепловых процессов и вызываемых ими температурных напряжений являются достаточно простыми и могут быть решены в некоторых случаях аналитически [1, 2]. Однако практически значимые расчёты требуют применения численных методов, в первую очередь, метода конечных элементов. Наиболее подходящими инструментариями для такого анализа являются комплексы программ на основе МКЭ: Solid Works, Ansys, Лира и др.

Ниже приводится пример использования программного комплекса Solid Works для разбиения области на конечные элементы и оценки НДС (рис. 2):

Рис. 2. Пример расчета трехслойной кабельной системы методом конечных элементов Перечисленные выше модели базируются на линейном законе Гука. При появлении пластических

зон, связанных с действием температуры, нужно применять итерационные методы последовательных приближений с исследованием условий их сходимости [3], [4]. Такие задачи с математической точки зрения являются существенно более сложными, чем линейные модели типа Гука.

Заключение

Предполагаются математические модели для анализа тепловых процессов и вызываемых ими температурных напряжений в саморегулирующихся кабельных сетях, поддерживающих заданный тепловой режим в трубопроводах. В частности, даны рекомендации, как корректно сформулировать задачу теплопроводности в различных ситуациях, в том числе с учетом обменных тепловых процессов. Предложены две модели по определению напряженно-деформируемого состояния (плоское напряженное и деформированное состояния). Предлагается также модель, учитывающая периодические изменения температуры окружающей среды. Дан обзор численных методов решения на базе метода конечных элементов и пример использования комплекса «Solid Works» для разбиения на конечные элементы трехслойных кабельных систем с оценкой возникающих напряжений.